Matematika, Fyzika, Chemie, Biologie, Zeměpis stručně

TROJÚHELNÍKY

Podle velikosti úhlů rozeznáváme trojúhelníky (viz tabulka)

  • ostroúhlé, jejichž všechny vnitřní úhly jsou ostré
  • pravoúhlé, jejichž jeden vnitřní úhel je pravý
  • tupoúhlé, jejichž jeden vnitřní úhel je tupý.

Podle velikosti stran rozeznáváme trojúhelníky

  • různoramenné, jejichž žádné dvě strany nejsou shodné
  • rovnoramenné, jejichž právě dvě strany jsou shodné
  • rovnostranné, jejichž všechny strany jsou shodné.
trojúhelník různoramenný rovnoramenný rovnostranný
ostroúhlý
pravoúhlý
tupoúhlý

Pythagorova věta

Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku se rovná součtu obsahů čtverců sestrojených nad jeho odvěsnami. Jsou-li v pravoúhlém trojúhelníku a, b velikosti odvěsen a c velikost přepony, platí

c2 = a2 + b2

Pythagorova věta

Euklidova věta o odvěsně

Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníku sestrojeného z přepony a úseku na přeponě k odvěsně přilehlého. Jsou-li a, c, ca velikosti příslušných úseček v pravoúhlém trojúhelníku, platí

a2 = c · ca

Euklidova věta o odvěsně

Euklidova věta o výšce

Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu pravoúhelníku, jehož strany jsou úseky na přeponě k odvěsnám přilehlé. Jsou-li v, ca, cb velikosti příslušných úseček v pravoúhlém trojúhelníku, platí

v2 = ca · cb

Euklidova věta o výšce

Thaletova věta

Obvodové úhly nad průměrem kružnice jsou pravé. Thaletovy věty používáme, chceme-li z daného bodu A sestrojit k dané kružnici k tečnu t. Postupujeme takto (obrázek):

Thaletova věta

Sestrojíme úsečku SA, okolo jejího středu O opíšeme kružnici m o poloměru OA, průsečíky kružnic k, m označíme T1, T2. Přímky AT1, AT2 jsou hledané tečny.

Pravidelné mnohoúhelníky

Pravidelné mnohoúhelníky jsou mnohoúhelníky, které mají všechny strany a všechny vnitřní úhly shodné. Pravidelný n-ůhelník můžeme sestrojit tak, že obvod kružnice n-úhelníku opsané rozdělíme na n stejných dílů kružítkem zkusmo, nebo u některých n-úhelníků podle nákresu na obrázku, kde AB, CD jsou kolmice procházející středem S, P je střed úsečky AS, m je oblouk kružnice opsané kolem bodu A poloměrem AS, n je oblouk kružnice opsané kolem bodu P poloměrem PC. Pravidelný pětiúhelník sestrojíme například tak, že od zvoleného bodu A přenášíme po obvodu kružnice k postupně úsečku a5, a tak určíme vrcholy pětiúhelníku ABCDE.

Pravidelné mnohoúhelníky

Trigonometrie

Trigonometrie pravoúhlého trojúhelníku se zabývá vztahy mezi jeho stranami a úhly. V pravoúhlém trojúhelníku ABC (obrázek),

sin α = a      cos α = b       tg α = a
c c b

1

kde například stranu a nazýváme protilehlá odvěsna k úhlu α, lze určit šest goniometrických funkcí ostrého úhlu, z nichž nejdůležitější tři definujeme podle obrázku. Hodnoty goniometrických funkcí ostrého úhlu α zaokrouhlené na dvě desetinná místa jsou uvedeny v tabulce (funkce tg 90° není definována).

α°

sin α

cos α

tg α

0

0,00

1,00

0,00

10

0,17

0,98

0,18

20

0,34

0,94

0,36

30

0,50

0,87

0,58

40

0,64

0,77

0,84

50

0,77

0,64

1,19

60

0,87

0,50

1,73

70

0,94

0,34

2,75

80

0,98

0,17

5,67

90

1,00

0,00

-

Tabulky hodnot funkcí mají různé uspořádání a používáme jich podle návodu, který je k tabulkám většinou připojen. Užitím goniometrických funkcí ostrého úhlu můžeme

  • vypočítat velikost ostrého úhlu pravoúhlého trojúhelníku, známe-li dvě strany trojúhelníku
  • vypočítat velikost strany pravoúhlého trojúhelníku, známe-li velikost jedné strany a velikost ostrého úhlu.
  • vypočítat velikost narýsovaného úhlu bez jeho měření úhloměrem
  • narýsovat úhel požadované velikosti bez použití úhloměru.

Máme-li sestrojit úhel velikosti α = 40°

  • nalezneme v tabulkách hodnotu goniometrické funkce tg 40° = 0,84,
  • funkci tg a vyjádříme poměrem příslušných stran pravoúhlého trojúhelníku ABC a poměr vhodně zkrátíme nebo rozšíříme, tedy
    tg 40° = a = 0,84 = 4,2
    b 1 5
    a pak a = 4,2 cm a b = 5 cm
  • sestrojíme pravoúhlý trojúhelník ABC o stranách a = 4,2 cm, b = 5 cm a γ = 90°, a tím i hledaný úhel α = 40°.
Získejte registraci domén s tld .online, .space, .store, .tech zdarma!
Stačí si k jedné z těchto domén vybrat hosting Plus nebo Mega a registraci domény od nás dostanete za 0 Kč!
Objednat