Matematika, Fyzika, Chemie, Biologie, Zeměpis stručně

MOCNINY A ODMOCNINY

Mocniny

Mocnina ab, kde a ≥ 0  a b je přirozené číslo, vyjadřuje součin b činitelů čísla a.

Příklad:  a2 = a · a        34 = 3 · 3 · 3 · 3

Číslo a se nazývá základ mocniny, číslo b mocnitel (exponent), početní výkon umocňování. Mocninu 32 čteme „tři na druhou“, mocninu ab čteme „a na b-tou“ nebo „b-tá mocnina a“.

Pro b = 0 a b = 1 platí

a0 = 1        30 = 1

a1 = a        31 = 3

Každou mocninu můžeme vypočítat tak, že základ a znásobíme mezi sebou tolikrát, kolikrát dává mocnitel b.

Příklad:

32 = 3 · 3 = 9

24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16

Druhé a třetí mocniny čísel 1 až 10 a některých dalších čísel do 100 jsou uvedeny v tabulce.

a

a2

a3

a

a2

a3

1

1

1

35

1 225

42 875

2

4

8

40

1 600

64 000

3

9

27

45

2 025

91 125

4

16

64

50

2 500

125 000

5

25

125

55

3 025

166 375

6

36

216

60

3 600

216 000

7

49

343

65

4 225

274 625

8

64

512

70

4 900

343 000

9

81

729

75

5 625

421 875

10

100

1 000

80

6 400

512 000

15

225

3 375

85

7 225

614 125

20

400

8 000

90

8 100

729 000

25

625

15 625

95

9 025

857 375

30

900

27 000

100

10 000

1 000 000

Vyplývá z nich, že například

83 = 512, 453 = 91 125

Z tabulky lze určit přibližné hodnoty druhých a třetích mocnin i těch čísel, které nejsou v tabulce uvedeny.

Příklad: Hledáme-li mocninu 582, uvědomíme si, že platí

552 < 582 < 602

v tabulkách nalezneme

3 025 < 582 < 3 600

a pak odhadneme 582 = 3 400, přičemž přesně platí 582 = 3 364. Přesnou hodnotu zjistíme také pomocí vzorců pro umocňování mnohočlenů.

582 = (50 + 8)2 = 502 + 2 · 50 · 8 + 82 = 2 500 + 800 + 64 = 3 364

Odmocniny

Odmocnina odmocnina kde a ≧ 0 a n je přirozené číslo, je nezáporné číslo q, pro něž platí qn = a.

Příklad: odmocnina = 3, protože 32 = 9

Číslo a se nazývá odmocněnec (základ odmocniny), číslo n odmocnitel, znak √ odmocnítko, početní výkon odmocňování. Odmocninu 9 čteme „druhá odmocnina z devíti“, odmocninu odmocnina čteme „n-tá odmocnina z a“. Druhé a třetí odmocniny čísel 1 až 10 a některých dalších čísel do 100 jsou uvedeny níže. Vyplývá z ní, že s přesností na tři desetinná místa například platí √8 = 2,828, ∛25 = 2,924. Ve sloupcích 10a a ∛10a nalezneme odmocniny desetinásobků čísla a, tedy například

35 = 5,916       √350 = 18,708

35 = 3,271       ∛350 = 7,047

a a 10a a 10a a a 10a a 10a
1 1,000 3,162 1,000 2,154 35 5,916 18,708 3,271 7,047
2 1,414 4,472 1,260 2,714 40 6,325 20,000 3,420 7,368
3 1,732 5,477 1,442 3,107 45 6,708 21,213 3,557 7,663
4 2,000 6,325 1,587 3,420 50 7,071 22,361 3,684 7,937
5 2,236 7,071 1,710 3,684 55 7,416 23,452 3,803 8,193
6 2,449 7,746 1,817 3,915 60 7,746 24,495 3,915 8,434
7 2,646 8,367 1,913 4,121 65 8,062 25,495 4,021 8,662
8 2,828 8,944 2,000 4,309 70 8,367 26,458 4,121 8,879
9 3,000 9,487 2,080 4,481 75 8,660 27,386 4,217 9,086
10 3,162 10,000 2,154 4,642 80 8,944 28,284 4,309 9,283
15 3,873 12,247 2,466 5,313 85 9,220 29,155 4,397 9,473
20 4,472 14,142 2,714 5,848 90 9,487 30,000 4,481 9,655
25 5,000 15,811 2,924 6,300 95 9,747 30,822 4,563 9,830
30 5,477 17,321 3,107 6,694 100 10,000 31,623 4,642 10,000

Podobně jako u druhých a třetích mocnin lze odhadem určit přibližné hodnoty druhých a třetích odmocnin těch čísel, která nejsou v tabulce uvedena.

Příklad: Odmocninu ∛746 odhadneme postupem

700 < ∛746 < ∛750

8,879 < ∛746 < 9,086

746 ≐ 9,07

Získejte registraci domén s tld .online, .space, .store, .tech zdarma!
Stačí si k jedné z těchto domén vybrat hosting Plus nebo Mega a registraci domény od nás dostanete za 0 Kč!
Objednat