Matematika, Fyzika, Chemie, Biologie, Zeměpis stručně

ALGEBRA

Algebrou se ve školské matematice rozumí počítání s písmeny ve významu čísel.

Závorky. Pořadí početních výkonů vyznačujeme závorkami, přičemž platí úmluva, že početní výkony uzavřené v závorce provádíme nejdříve. Při sčítání a odčítání odstraňujeme závorky podle těchto pravidel:

  • Je-li před závorkou znaménko + , odstraníme závorku tak, že znaménka v závorce ponecháme beze změny.
  • Je-li před závorkou —, odstraníme závorku tak, že znaménka v závorce změníme v znaménka opačná.
    Příklady: a + (b + c) = a + b + c
    a - (b + c) = a - b - c
    a + (b - c) = a + b - c
    a - (b - c) = a - b + c

Znaménka. Znaménko součinu a podílu nezáporných čísel a, b se řídí těmito pravidly:

  • Součin (podíl) dvou čísel se stejnými znaménky je vždy kladný.
  • Součin (podíl) dvou čísel s různými znaménky je vždy záporný.

Uvedeným pravidlům odpovídají tato schémata a příklady:

+ · + = +        (+ 3) · (+ 2) = + 6
- · - = +   (- 3) · (- 2) = + 6
+ · - = -   (+ 3) · (- 2) = - 6
- · + = -   (- 3) · (+ 2) = - 6
+ : + = +   (+ 6) · (+ 3) = + 2
- : - = +   (- 6) · (- 3) = + 2
+ : - = -   (+ 6) · (- 3) = - 2
- : + = -   (- 6) · (+ 3) = - 2

Početní výkony s mocninami

Sčítání (odčítání) mocnin. Sčítat (odčítat) můžeme jen mocniny se stejným základem a stejným mocnitelem. Mocniny sečteme, sečteme-li číselné koeficienty a výsledek znásobíme společnou mocninou sčítanců.

ram + sam = (r + s)am         5a2 + 2a2 = 7a2

Násobení mocnin. Mocniny se stejným základem znásobíme, umocníme-li společný základ součtem mocnitelů.

am · an = am+n         a3 . a2 = a5

Mocniny se stejným mocnitelem znásobíme, umocníme-li součin základů společným mocnitelem.

am · bm = (ab)m         22 · a2 = (2a)2

Dělení mocnin. Mocniny se stejným základem dělíme, umocníme-li společný základ rozdílem mocnitelů

am : an = am = am-n      (a ≠ 0)
an

a5 : a3 = a2

Mocniny se stejným mocnitelem dělíme, umocníme-li podíl základů společným mocnitelem.

am : bm = am  = 1        (b ≠ 0)
bm

a3 : b3 = 1

Umocňování mocnin. Mocninu umocníme, umocníme-li základ mocniny součinem mocnitelů.

(am)n = am·n               (a3)2 = a6

Umocňování součinu. Součin umocníme, umocníme-li každého činitele daným mocnitelem.

(ab)m = ambm             (2a)2 = 4a2

Mocniny se záporným mocnitelem. Pro každé reálné číslo a ≠ 0 a přirozené číslo n platí

a-n = 1            a-3 = 1
an a3
an = 1   a3 = 1
a-n   a-3

Početní výkony s odmocninami. Pro kladné reálné číslo a, celé číslo m a přirozené číslo n platí

Početní výkony s odmocninami        Početní výkony s odmocninami

Podle této věty můžeme převést odmocniny na mocniny s mocniteli ve tvaru zlomku a s nimi počítat podle pravidel o počítání s mocninami a zlomky, jak vyplývá z těchto příkladů:

Krácení odmocnin Početní výkony s odmocninami

Násobení odmocnin Početní výkony s odmocninami

Odmocňování odmocnin

Početní výkony s odmocninami

Mnohočleny

Násobení

(a + b) · m = am + bm
(a + b) · (m + n ) = am + bm + an + bn
(a + b) · (a + b) = a2 + 2ab + b2
(a - b) · (a - b) = a2 - 2ab - b2
(a + b) · (a - b) = a2 - b2

Dělení

(a + b) : m = a + b
m m

(a2 + 2ab + b2) : (a + b) = a + b

(a2 - 2ab + b2) : (a - b) = a - b

(a2 - b2) : (a + b) = a - b

(a2 - b2) : (a - b) = a + b

(a3 + b3) : (a + b) = a2 - ab + b2

(a3 - b3) : (a - b) = a2 + ab + b2

Umocňování

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a — b)2 = a2 — 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a — b)3 = a3 — 3a2b + 3ab2 — b3

Rozklad

a2 - b2 = (a + b) · (a - b)

a2 + 2ab + b2 = (a + b) · (a + b)

a2 - 2ab + b2 = (a - b) · (a - b)

Získejte registraci domén s tld .online, .space, .store, .tech zdarma!
Stačí si k jedné z těchto domén vybrat hosting Plus nebo Mega a registraci domény od nás dostanete za 0 Kč!
Objednat